연립방정식 계산기: 크레이머 공식으로 x,y 검산

연립방정식을 손으로 풀고 나서 x, y 값이 맞는지 바로 확인하고 싶은 사람을 위한 글입니다. 계수 a, b, c를 행렬식 D, Dx, Dy로 바꾸는 크레이머 공식(Cramer's Rule)의 계산 원리를 먼저 설명합니다.

같은 계산을 자동으로 처리하는 도구로 검산하는 방법도 함께 안내하며, 미지수가 2개인 연립방정식뿐 아니라 3개인 경우까지 같은 원리로 다룹니다.

요약 ① 크레이머 공식은 계수로 만든 행렬식 D와, 한 열을 상수항으로 바꾼 행렬식 Dx·Dy(3원이면 Dz까지)의 비율로 해를 구합니다. ② D=0이면 해가 하나로 정해지지 않는데, Dx·Dy도 함께 0이면 해가 무수히 많고(부정), 하나라도 0이 아니면 해가 없습니다(불능). ③ 행렬식을 전개할 때 부호를 하나만 놓쳐도 완전히 다른 값이 나오므로, 답이 안 맞을 때는 부호부터 다시 짚어보는 것이 오답 원인을 찾는 방법입니다.

연립방정식 답을 검산해야 하는 상황

연립방정식은 대입법이나 가감법으로 풀 수 있지만, 식을 정리하는 과정에서 부호나 항 하나를 놓치면 결과가 완전히 달라집니다. 특히 계수가 분수나 소수로 떨어지는 문제는 손으로 다시 풀어도 같은 실수를 반복하기 쉽습니다.

이때 필요한 건 풀이 과정을 처음부터 다시 검토하는 것이 아니라, 같은 계수를 넣었을 때 나오는 x, y 값이 자신이 구한 답과 같은지 비교하는 것입니다. 아래에서는 그 값이 어떤 계산으로 나오는지부터 설명합니다.

크레이머 공식으로 손으로 직접 풀어보기

크레이머 공식은 연립 1차방정식의 계수만으로 행렬식 몇 개를 만들고, 그 비율로 해를 구하는 방법입니다. 미지수가 2개인 경우부터 보겠습니다. 두 방정식을 표준형으로 정리하면 다음과 같습니다.

• a1x + b1y = c1
• a2x + b2y = c2

계수행렬식 D 계산하기

먼저 x, y의 계수만 뽑아 계수행렬식 D를 계산합니다.

D = a1×b2 − b1×a2

이 값이 0이 아니면 해가 하나로 정해집니다. 이제 분자에 해당하는 행렬식 두 개를 만듭니다. 각 행렬식이 계수행렬식에서 어느 열을 상수항으로 바꾼 것인지가 핵심입니다.

분자행렬식 Dx, Dy 만들고 해 구하기

Dx = c1×b2 − b1×c2 — x 계수 열(a1, a2) 자리를 상수항 열(c1, c2)로 바꾼 값입니다.

Dy = a1×c2 − c1×a2 — y 계수 열(b1, b2) 자리를 상수항 열로 바꾼 값입니다.

D가 0이 아니면 해는 x = Dx/D, y = Dy/D로 구해집니다. 숫자로 직접 확인해보겠습니다. 2x + 3y = 8과 x − y = 1을 예로 듭니다.

계수는 a1=2, b1=3, c1=8, a2=1, b2=−1, c2=1입니다.

• D = 2×(−1) − 3×1 = −2 − 3 = −5
• Dx = 8×(−1) − 3×1 = −8 − 3 = −11
• Dy = 2×1 − 8×1 = 2 − 8 = −6

따라서 x = −11 ÷ −5 = 2.2, y = −6 ÷ −5 = 1.2입니다. 검산하면 2×2.2 + 3×1.2 = 8이고 2.2 − 1.2 = 1이므로 두 식 모두 성립합니다.

미지수가 3개(3원 1차방정식)인 경우

원리는 같지만 행렬식이 3×3으로 늘어나고, 코팩터 전개(부분 2×2 행렬식을 이용한 전개)로 계산합니다. 세 방정식이 a1x+b1y+c1z=d1 형태(i=1,2,3)일 때 계수행렬식 D는 이렇게 전개됩니다.

D = a1(b2c3−c2b3) − b1(a2c3−c2a3) + c1(a2b3−b2a3)

부호는 첫 항부터 +, −, + 순서로 번갈아 붙습니다. Dx, Dy, Dz는 각각 x, y, z 계수 열을 상수항 열(d1, d2, d3)로 바꾼 뒤 같은 방식으로 전개한 값입니다.

예를 들어 x+y+z=6, 2x−y+z=3, x+2y−z=2를 풀면 D=7, Dx=7, Dy=14, Dz=21이 나와 x=1, y=2, z=3으로 계산됩니다. 대입하면 세 식 모두 성립하며, 아래 도구로 직접 검산해볼 수 있습니다.

직접 해보기 →

자주 헷갈리는 지점

가장 많이 헷갈리는 지점은 D=0일 때입니다. D=0은 해가 하나로 정해지지 않는다는 뜻일 뿐, 그 자체로 "해가 없다"는 뜻은 아닙니다. 이때는 Dx, Dy(3원이면 Dz까지)를 함께 봐야 합니다.

D=0일 때: 부정과 불능 구분하기

예를 들어 x+y=2와 2x+2y=4는 D=0, Dx=0, Dy=0이 되어 부정(해가 무수히 많음)입니다. 두 번째 식이 첫 번째 식을 2배 한 것과 같아 사실상 하나의 식이기 때문입니다.

반면 x+y=2와 2x+2y=5는 D=0이지만 Dx=2×2−1×5=−1로 0이 아닙니다. 이 경우는 불능(해 없음)입니다. 두 직선이 평행하기만 하고 만나지 않는다는 뜻입니다.

부호를 놓치는 실수

두 번째로 흔한 실수는 행렬식을 전개할 때 부호를 놓치는 것입니다. 앞의 예에서 D를 a1×b2 − b1×a2가 아니라 a1×b2 + b1×a2로 잘못 계산하면 2×(−1) + 3×1 = 1이 나와, 올바른 값 −5와 전혀 다른 값이 됩니다.

부호 하나만 바뀌어도 D, Dx, Dy가 전부 달라지고 x, y 값도 따라서 달라집니다.

3×3 행렬식과 반올림 표기

3×3 행렬식은 이 문제가 더 커집니다. 코팩터 전개의 부호가 +, −, +로 번갈아 붙는다는 점을 놓치고 전부 더하면, 앞의 예(x+y+z=6 등)에서 D는 7이 아니라 1로 계산됩니다. 가운데 항의 부호(−)를 빠뜨린 결과입니다.

마지막으로, 계산기가 보여주는 값은 소수 넷째 자리까지 반올림한 결과입니다. 손으로 분수로 계산한 값(예: 11/5)과 표기 형태는 다르지만, 소수로 바꿔 비교하면(11/5=2.2) 같은 값인지 확인할 수 있습니다.

정리

• 크레이머 공식은 계수행렬식 D와, 상수항으로 한 열을 바꾼 Dx·Dy(3원이면 Dz)의 비율로 해를 구하는 방법입니다.
• 2원 연립방정식은 D=a1b2−b1a2, Dx=c1b2−b1c2, Dy=a1c2−c1a2로 계산하며, x=Dx/D, y=Dy/D입니다.
• D=0일 때는 Dx, Dy가 모두 0인지를 봐야 하며, 모두 0이면 해가 무수히 많고(부정) 하나라도 0이 아니면 해가 없습니다(불능).
• 행렬식을 전개할 때 부호를 하나만 놓쳐도 D, Dx, Dy 값이 전부 달라지므로, 답이 검산과 다르면 부호부터 다시 확인하는 것이 가장 흔한 오답의 원인을 잡는 방법입니다.

자주 묻는 질문

크레이머 공식은 아무 연립방정식에나 쓸 수 있나요?

미지수와 방정식 개수가 같은 선형(1차) 연립방정식이면 계수행렬식을 만들 수 있습니다. 다만 D가 0이 아닐 때만 x=Dx/D 같은 나눗셈으로 해가 유일하게 정해집니다. D=0이면 Dx, Dy(Dz)를 추가로 확인해 부정인지 불능인지 구분해야 합니다.

미지수가 3개인 연립방정식도 같은 방식으로 계산되나요?

같은 원리입니다. 다만 행렬식이 2×2에서 3×3으로 늘어나 코팩터 전개(부분 2×2 행렬식들의 합)로 계산하고, 상수항 열로 바꾸는 대상이 x, y 두 열에서 x, y, z 세 열로 늘어나 Dz가 추가됩니다.

계산 결과가 소수로 나오는데, 정확한 값이 맞나요?

계산기는 계산된 값을 소수 넷째 자리까지 반올림해 보여줍니다. 손으로 분수 형태로 구한 값과 표기는 다를 수 있지만, 분수를 소수로 환산해 비교하면 같은 값인지 확인할 수 있습니다.

D=0인데 계산기가 "해 없음"이라고 표시하면 무엇이 잘못된 건가요?

계산이 잘못된 게 아니라 원래 방정식 자체가 모순 관계라는 뜻입니다. 예를 들어 두 직선이 서로 평행해서 만나는 점이 없는 경우입니다. Dx나 Dy 중 하나라도 0이 아니면 이 경우에 해당합니다.