연립방정식 계산기: 크레이머 공식으로 x,y 검산

연립방정식을 손으로 풀고 나서 x, y 값이 맞는지 바로 확인하고 싶은 사람을 위한 글입니다. 계수 a, b, c를 행렬식 D, Dx, Dy로 바꾸는 크레이머 공식(Cramer's Rule)의 계산 원리를 먼저 설명합니다.

같은 계산을 자동으로 처리하는 도구로 검산하는 방법도 함께 안내하며, 미지수가 2개인 연립방정식뿐 아니라 3개인 경우까지 같은 원리로 다룹니다.

요약 ① 크레이머 공식은 계수로 만든 행렬식 D와, 한 열을 상수항으로 바꾼 행렬식 Dx·Dy(3원이면 Dz까지)의 비율로 해를 구합니다. ② D=0이면 해가 하나로 정해지지 않는데, Dx·Dy도 함께 0이면 해가 무수히 많고(부정), 하나라도 0이 아니면 해가 없습니다(불능). ③ 행렬식을 전개할 때 부호를 하나만 놓쳐도 완전히 다른 값이 나오므로, 답이 안 맞을 때는 부호부터 다시 짚어보는 것이 오답 원인을 찾는 방법입니다.

연립방정식 답을 검산해야 하는 상황

연립방정식은 대입법이나 가감법으로 풀 수 있지만, 식을 정리하는 과정에서 부호나 항 하나를 놓치면 결과가 완전히 달라집니다. 특히 계수가 분수나 소수로 떨어지는 문제는 손으로 다시 풀어도 같은 실수를 반복하기 쉽습니다.

이때 필요한 건 풀이 과정을 처음부터 다시 검토하는 것이 아니라, 같은 계수를 넣었을 때 나오는 x, y 값이 자신이 구한 답과 같은지 비교하는 것입니다. 아래에서는 그 값이 어떤 계산으로 나오는지부터 설명합니다.

크레이머 공식으로 손으로 직접 풀어보기

크레이머 공식은 연립 1차방정식의 계수만으로 행렬식 몇 개를 만들고, 그 비율로 해를 구하는 방법입니다. 미지수가 2개인 경우부터 보겠습니다. 두 방정식을 표준형으로 정리하면 다음과 같습니다.

• a1x + b1y = c1
• a2x + b2y = c2

계수행렬식 D 계산하기

먼저 x, y의 계수만 뽑아 계수행렬식 D를 계산합니다.

D = a1×b2 − b1×a2

이 값이 0이 아니면 해가 하나로 정해집니다. 이제 분자에 해당하는 행렬식 두 개를 만듭니다. 각 행렬식이 계수행렬식에서 어느 열을 상수항으로 바꾼 것인지가 핵심입니다.

분자행렬식 Dx, Dy 만들고 해 구하기

Dx = c1×b2 − b1×c2 — x 계수 열(a1, a2) 자리를 상수항 열(c1, c2)로 바꾼 값입니다.

Dy = a1×c2 − c1×a2 — y 계수 열(b1, b2) 자리를 상수항 열로 바꾼 값입니다.

D가 0이 아니면 해는 x = Dx/D, y = Dy/D로 구해집니다. 숫자로 직접 확인해보겠습니다. 2x + 3y = 8과 x − y = 1을 예로 듭니다.

계수는 a1=2, b1=3, c1=8, a2=1, b2=−1, c2=1입니다.

• D = 2×(−1) − 3×1 = −2 − 3 = −5
• Dx = 8×(−1) − 3×1 = −8 − 3 = −11
• Dy = 2×1 − 8×1 = 2 − 8 = −6

따라서 x = −11 ÷ −5 = 2.2, y = −6 ÷ −5 = 1.2입니다. 검산하면 2×2.2 + 3×1.2 = 8이고 2.2 − 1.2 = 1이므로 두 식 모두 성립합니다.

미지수가 3개(3원 1차방정식)인 경우

원리는 같지만 행렬식이 3×3으로 늘어나고, 코팩터 전개(부분 2×2 행렬식을 이용한 전개)로 계산합니다. 세 방정식이 a1x+b1y+c1z=d1 형태(i=1,2,3)일 때 계수행렬식 D는 이렇게 전개됩니다.

D = a1(b2c3−c2b3) − b1(a2c3−c2a3) + c1(a2b3−b2a3)

부호는 첫 항부터 +, −, + 순서로 번갈아 붙습니다. Dx, Dy, Dz는 각각 x, y, z 계수 열을 상수항 열(d1, d2, d3)로 바꾼 뒤 같은 방식으로 전개한 값입니다.

예를 들어 x+y+z=6, 2x−y+z=3, x+2y−z=2를 풀면 D=7, Dx=7, Dy=14, Dz=21이 나와 x=1, y=2, z=3으로 계산됩니다. 대입하면 세 식 모두 성립하며, 아래 도구로 직접 검산해볼 수 있습니다.

직접 해보기 →

자주 헷갈리는 지점

가장 많이 헷갈리는 지점은 D=0일 때입니다. D=0은 해가 하나로 정해지지 않는다는 뜻일 뿐, 그 자체로 "해가 없다"는 뜻은 아닙니다. 이때는 Dx, Dy(3원이면 Dz까지)를 함께 봐야 합니다.

D=0일 때: 부정과 불능 구분하기

예를 들어 x+y=2와 2x+2y=4는 D=0, Dx=0, Dy=0이 되어 부정(해가 무수히 많음)입니다. 두 번째 식이 첫 번째 식을 2배 한 것과 같아 사실상 하나의 식이기 때문입니다.

반면 x+y=2와 2x+2y=5는 D=0이지만 Dx=2×2−1×5=−1로 0이 아닙니다. 이 경우는 불능(해 없음)입니다. 두 직선이 평행하기만 하고 만나지 않는다는 뜻입니다.

부호를 놓치는 실수

두 번째로 흔한 실수는 행렬식을 전개할 때 부호를 놓치는 것입니다. 앞의 예에서 D를 a1×b2 − b1×a2가 아니라 a1×b2 + b1×a2로 잘못 계산하면 2×(−1) + 3×1 = 1이 나와, 올바른 값 −5와 전혀 다른 값이 됩니다.

부호 하나만 바뀌어도 D, Dx, Dy가 전부 달라지고 x, y 값도 따라서 달라집니다.

3×3 행렬식과 반올림 표기

3×3 행렬식은 이 문제가 더 커집니다. 코팩터 전개의 부호가 +, −, +로 번갈아 붙는다는 점을 놓치고 전부 더하면, 앞의 예(x+y+z=6 등)에서 D는 7이 아니라 1로 계산됩니다. 가운데 항의 부호(−)를 빠뜨린 결과입니다.

마지막으로, 계산기가 보여주는 값은 소수 넷째 자리까지 반올림한 결과입니다. 손으로 분수로 계산한 값(예: 11/5)과 표기 형태는 다르지만, 소수로 바꿔 비교하면(11/5=2.2) 같은 값인지 확인할 수 있습니다.

정리

• 크레이머 공식은 계수행렬식 D와, 상수항으로 한 열을 바꾼 Dx·Dy(3원이면 Dz)의 비율로 해를 구하는 방법입니다.
• 2원 연립방정식은 D=a1b2−b1a2, Dx=c1b2−b1c2, Dy=a1c2−c1a2로 계산하며, x=Dx/D, y=Dy/D입니다.
• D=0일 때는 Dx, Dy가 모두 0인지를 봐야 하며, 모두 0이면 해가 무수히 많고(부정) 하나라도 0이 아니면 해가 없습니다(불능).
• 행렬식을 전개할 때 부호를 하나만 놓쳐도 D, Dx, Dy 값이 전부 달라지므로, 답이 검산과 다르면 부호부터 다시 확인하는 것이 가장 흔한 오답의 원인을 잡는 방법입니다.

📖 3가지 도메인 특화 사연: 연립방정식의 실전 트러블과 해결

선형대수학의 크레이머 공식과 행렬식 계산은 교과서에서 멈추는 것이 아니라, 공학, 게임 개발, 화학 등 다양한 실무 현장에서 직접적으로 활용됩니다. 다음은 연립방정식을 풀이하는 과정에서 겪었던 뼈아픈 실수와 이를 크레이머 공식으로 명쾌하게 해결한 3가지 실제 사연입니다.

사연 1: 45분을 허비한 전기공학도의 키르히호프 법칙 회로 해석

전자공학 전공생인 G씨는 3개의 폐회로가 맞물린 복잡한 회로망에서 키르히호프 전압 법칙(Kirchhoff's Voltage Law)을 적용해 3개의 루프 전류 ($I_1, I_2, I_3$)를 구해야 했습니다. 미지수 3개의 연립방정식을 세우고 가우스 소거법으로 손으로 풀던 중, 중간 단계에서 음수 기호를 하나 빼먹는 치명적인 실수를 했습니다. 오답을 찾기 위해 처음부터 45분 동안 식을 뒤져야 했죠. 이후 크레이머 공식을 배우고 나서, 각 전류를 독립적인 행렬식 비율 $I_k = det(A_k)/det(A)$ 로 구성하여 단 3분 만에 오차 없이 정확하게 계산해낼 수 있었습니다.

사연 2: 수직선에서 크래시가 발생한 게임 물리 엔진 프로그래머

2D 게임 물리 엔진을 개발하던 H프로그래머는 몬스터와 발사체의 충돌 감지를 위해 두 선분의 교차점을 구하는 알고리즘을 작성했습니다. 처음에는 직관적인 기울기-절편 방정식($y = mx + b$)을 연립하여 풀었지만, 선분이 완전한 수직일 때 기울기 $m = infty$ 가 되어 런타임 에러(Division by Zero)로 게임이 크래시되었습니다. 이를 해결하기 위해 선분 교차 로직을 행렬 형태의 크레이머 공식으로 재작성했습니다. 이 방식은 기울기가 무한대인 경우에도 무난하게 교차점을 찾으며, $det(A) = 0$ 조건만으로 두 선분이 평행한지 완벽하게 판별하여 충돌 엔진의 안정성을 극대화했습니다.

사연 3: 복잡한 화학 반응식을 맞추는 연구원의 딜레마

화학 연구원 I씨는 다수의 원소가 포함된 복잡한 산화-환원 반응식($a ext{KMnO}_4 + b ext{HCl} o c ext{KCl} + d ext{MnCl}_2 + e ext{H}_2 ext{O} + f ext{Cl}_2$)의 화학량론적 계수를 맞춰야 했습니다. 미지수 6개의 연립방정식이 등장하여 단순 대입법이나 가감법으로는 도저히 풀리지 않아 크게 좌절했습니다. 행렬 대수를 이용해 변수 중 하나를 임의로 고정하고, 나머지 변수들을 크레이머 공식의 행렬식 비율로 계산한 뒤 가장 작은 정수비로 환산하는 방식을 적용하여 빠르고 정확하게 모든 계수 비율을 도출해 냈습니다.

🔬 핵심 기술 메커니즘 — 행렬식과 크레이머 공식의 수학적 원리

연립방정식을 단순히 대수적으로 풀지 않고 행렬로 변환하여 접근하면 수학적 구조와 기하학적 의미가 놀라울 정도로 명확해집니다.

1. 선형 시스템의 행렬 표현 (Linear System Matrix Representation)

미지수 x, y에 대한 2원 1차 연립방정식은 선형 대수학의 행렬 곱셈 형태로 다음과 같이 완벽하게 변환됩니다. $A mathbf{x} = mathbf{b} iff egin{pmatrix} a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 end{pmatrix} egin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix} c_1 \ c_2 end{pmatrix}$ 여기서 $A$는 계수 행렬(Coefficient Matrix)이며, 공간의 선형 변환을 나타냅니다.

2. 행렬식($det(A)$)과 크레이머 공식 도출

크레이머 공식은 미지수의 해를 행렬식의 비율로 직접 구하는 강력한 닫힌 형태(Closed-form) 정리입니다. $x = rac{det(A_x)}{det(A)} = rac{D_x}{D}, quad y = rac{det(A_y)}{det(A)} = rac{D_y}{D}$ 이때 분모와 분자의 행렬식 계산은 교차 곱셈으로 이루어집니다. $D = a_1 b_2 - b_1 a_2, quad D_x = c_1 b_2 - b_1 c_2, quad D_y = a_1 c_2 - c_1 a_2$

3. 3x3 행렬식의 전개 (사뤼스 법칙 및 라플라스 여인수 전개)

미지수가 3개인 3원 1차 방정식의 행렬식 $D$는 라플라스 여인수 전개(Laplace Cofactor Expansion) 또는 사뤼스의 법칙(Sarrus' Rule)을 통해 전개됩니다. $D = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$ 여기서 두 번째 항인 $b_1$ 앞에 반드시 마이너스 부호가 붙는다는 점이 계산의 핵심입니다.

4. 기하학적 해석 및 특이 행렬 판별 (Singularity Analysis, $D = 0$)

계수 행렬식 $D$의 값은 선형 시스템의 기하학적 상태를 완벽하게 대변합니다.

• $D e 0$: 유일한 해 존재 (Unique solution, $mathbf{x} = A^{-1} mathbf{b}$). 기하학적으로 두 직선이나 세 평면이 단 하나의 점에서 만남을 의미합니다.
• $D = 0 land (D_x e 0 lor D_y e 0)$: 불능 (Inconsistent / No Solution). 직선들이 서로 평행하여 0이 아닌 간격을 두고 떨어져 있어 교차점이 존재하지 않습니다.
• $D = 0 land D_x = 0 land D_y = 0$: 부정 (Dependent / Infinitely Many Solutions). 두 직선이나 평면이 완전히 겹쳐져 동일한 객체가 된 종속 상태입니다.

5. 계산 복잡도 및 알고리즘적 한계 (Computational Complexity)

크레이머 공식은 변수가 $n$개일 때 무려 $O((n+1)!)$ 의 연산 복잡도를 가집니다. 따라서 변수가 늘어날수록 계산량이 폭발적으로 증가하여, 프로그래밍 및 수기 계산에서 크레이머 공식은 $n=2$ 또는 $n=3$ 인 시스템의 빠르고 명시적인 해를 구하는 용도로 최적화되어 있습니다.

📊 선형 시스템 풀이 알고리즘 비교 가이드

연립방정식을 푸는 다양한 수학적 알고리즘 중 어떤 방법을 언제 써야 할까요? 각 알고리즘별 특성을 비교했습니다.

⚠️ 흔히 저지르는 치명적인 계산 실수 5가지

여인수 전개나 크레이머 공식을 활용할 때 수학적으로 가장 빈번하게 발생하는 5가지 오류입니다.

1. 여인수 전개 시 두 번째 항의 마이너스 부호 생략: 3x3 행렬식을 첫 행을 기준으로 전개할 때 부호는 $+a_1, -b_1, +c_1$ 순서로 교차합니다. 두 번째 항에 들어가는 마이너스 부호를 양수로 착각하여 계산 전체가 틀어지는 실수가 가장 빈번합니다.
2. $D=0$을 발견하고 무조건 '해 없음'으로 단정: 행렬식 $D=0$ 은 해가 유일하지 않다는 특이 행렬 뜻일 뿐입니다. $D_x, D_y$ 값을 확인하지 않으면 무수히 많은 해(부정)인지, 진짜로 해가 없는 것(불능)인지 절대로 정확히 판별할 수 없습니다.
3. 행과 열 인덱스의 혼동 및 교체 오류: 분자 행렬식 $D_x$를 구성할 때 상수항 열벡터를 계수 행렬의 '첫 번째 열'에 치환해야 하는데, 실수로 행에 끼워 넣거나 두 번째 열(y계수)에 잘못 덮어씌우는 현상입니다.
4. 음수 계수 전개 시 기호 손실: 방정식 계수가 음수(예: $a_2 = -3$)일 때, 2x2 교차 곱 공식의 뺄셈 부호와 겹치면서 마이너스 괄호 처리를 누락해 결과값이 엉뚱하게 커지거나 작아지는 산술 오류입니다.
5. 거대한 차원의 시스템에 크레이머 공식 남용: 미지수가 5개($N ge 5$) 이상인 큰 연립방정식을 크레이머 공식으로 풀려고 시도하는 것입니다. 5x5 행렬식은 계산 항이 폭발적으로 늘어나므로 반드시 가우스 소거법을 써야 합니다.

💡 오차 제로 5단계 연립방정식 풀이 워크플로우

가장 안정적이고 기계적인 절차로 3원 1차 연립방정식까지 완벽하게 풀어내는 표준 워크플로우입니다.

1. 1단계 (표준형 정렬): 모든 방정식을 미지수 순서대로 정렬하여 $ax + by + cz = d$ 꼴로 만듭니다. 상수항은 우변으로 몰아넣습니다.
2. 2단계 (행렬 A와 벡터 b 구성): 좌변의 계수들만 모아 정방형 계수 행렬 $A$를 구성하고, 우변의 상수를 추출해 열벡터 $mathbf{b}$를 만듭니다.
3. 3단계 (주 행렬식 D 계산): 행렬 $A$의 행렬식 $D$를 우선 계산합니다. 여기서 $D=0$이 나오면 즉시 판별 단계로 넘어가야 합니다.
4. 4단계 (보조 행렬식 구성 및 계산): $D e 0$이라면, 상수항 벡터를 행렬 $A$의 1열, 2열, 3열에 각각 교체해 넣은 후 $D_x, D_y, D_z$ 행렬식의 값을 순서대로 계산합니다.
5. 5단계 (해 도출 및 대입 검증): 크레이머 공식으로 $x = D_x / D$, $y = D_y / D$, $z = D_z / D$를 산출한 뒤, 도출된 값들을 원래 연립방정식에 다시 대입해 좌우변이 일치하는지 최종 백-서브스티튜션(Back-substitution) 검증을 수행합니다.

🔍 선형대수학 전문가의 실전 팁 7선

계산 속도를 높이고 치명적인 실수를 방지하는 전문가들의 숨겨진 노하우입니다.

1. 무조건 주 행렬식 D부터 계산할 것: 시간 낭비를 막는 핵심 원칙입니다. $det(A) = 0$이라면 기껏 구한 $D_x, D_y$ 값으로 나눗셈조차 할 수 없습니다. 항상 주 행렬식을 먼저 구해 가역성을 검증하세요.
2. 3x3 계산은 사뤼스 법칙(Sarrus' Rule)으로 쾌속 전개: 3x3 행렬의 우측에 1열과 2열을 그대로 이어 붙인 뒤, 우하단 대각선 3개는 곱해서 더하고 좌하단 대각선 3개는 곱해서 빼는 시각적 스킬을 쓰면 전개 속도가 비약적으로 상승합니다.
3. 비례하는 행벡터 눈치채기: 계수 행렬을 관찰할 때 행 2가 행 1의 정확한 배수(예: 2x+3y=4 와 4x+6y=10)라면 펜을 댈 것도 없이 $D=0$입니다. 선형 종속(Linear Dependence)을 직관적으로 파악하는 눈을 기르세요.
4. 분수 계수의 정수화 정규화: 수식에 0.2x + 1/3y 와 같은 항이 있다면 최소공배수(LCM)를 식 전체에 곱해 모든 계수를 깔끔한 정수로 변환한 뒤 행렬을 구성해야 계산 오차를 차단할 수 있습니다.
5. 2x2 행렬식의 기하학적 넓이 통찰: 2원 1차 방정식의 행렬식 $D = a_1 b_2 - b_1 a_2$ 값은 사실 두 계수 열벡터가 이루는 평행사변형의 부호화된 넓이(Signed Area)를 의미합니다.
6. 기호 매개변수 문제에서의 압도적 우위: 방정식에 변수 외에 상수 파라미터가 섞여 있을 때 가우스 소거법은 수식이 극도로 지저분해집니다. 이럴 때 크레이머 공식을 쓰면 논리 구조가 아주 깔끔한 분수식으로 떨어집니다.
7. 웹 방정식 솔버로 교차 검증: 손으로 푸는 행렬식 전개 과정은 실수하기 매우 쉽습니다. 본문의 웹 도구를 활용해 본인의 도출한 $D, D_x, D_y$ 값이 1단위까지 일치하는지 더블 체크하는 습관을 들이세요.

🎯 선형 시스템 가해성(Solvability) 결정 트리

방정식을 마주했을 때 어떠한 방법으로 풀어야 할지 빠르게 판단하는 결정 트리입니다.

• [조건] 계수 행렬식 $D e 0$ 인가?
  • ➔ (예) 유일한 해가 존재함 (Unique Solution). 두 직선이 정확히 한 점에서 만납니다. 크레이머 공식으로 해를 바로 도출하세요.
  • ➔ (아니오) $D=0$ 특이 행렬 상태입니다. 하위 판별로 이동하세요.
    • ➔ [하위 조건] 분자 행렬식 $D_x, D_y$ 중 하나라도 0이 아닌가?
      • ➔ (예) 불능 (Inconsistent / No Solution). 두 직선은 평행하며 겹치지 않아 해가 존재하지 않습니다.
      • ➔ (아니오) 모두 0임 ($D_x = D_y = 0$). 부정 (Infinitely Many Solutions). 두 직선이 완벽히 일치하므로 무수히 많은 해가 존재합니다.

📑 핵심 수학 용어 치트시트 (Terminology)

• 크레이머 공식 (Cramer's Rule): 역행렬이나 복잡한 소거법을 거치지 않고, 행렬식들의 직접적인 비율만으로 미지수의 해를 구하는 닫힌 형태의 정리.
• 행렬식 (Determinant, det, D): 정방행렬을 하나의 스칼라 값으로 대응시키는 함수로, 기하학적으로는 선형 변환 시 부피와 넓이의 확장 비율을 상징.
• 사뤼스 법칙 (Sarrus' Rule): 3x3 차원의 행렬식을 계산할 때 대각선 방향으로 연속 곱하여 더하고 빼는 직관적인 연산 스킬.
• 여인수 전개 (Cofactor Expansion): 고차원의 복잡한 행렬식을 하위 차원의 소행렬식들의 합과 차로 분해하여 계산하는 수학적 전개 방식.
• 특이 행렬 (Singular Matrix): 행렬식이 0인 행렬. 역행렬이 존재하지 않으며 변환 시 공간의 차원이 축소됩니다.
• 부정 (Infinitely Many Solutions): 연립방정식의 식들이 서로 선형 종속 관계에 있어 완전히 겹쳐지는 해가 무수히 많은 상태.
• 불능 (Inconsistent / No Solution): 주어진 방정식 조건들이 서로 모순되어 만족하는 해가 단 하나도 존재하지 않는 물리적 평행 상태.
• 키르히호프 법칙: 전기 회로망에서 전류와 전압의 분포를 다원 1차 연립방정식으로 도출해내는 회로망 해석의 근간 이론.

자주 묻는 질문

Q1. 크레이머 공식은 왜 2x2와 3x3 방정식에만 적합하고 10x10 규모에서는 비효율적인가요?

A1. 크레이머 공식을 통해 해를 구하려면 행렬식 연산이 필수적인데, 이 행렬식 연산의 복잡도는 $O(n!)$ 로 기하급수적으로 폭발합니다. 10x10 행렬 하나를 푸는 데 엄청난 횟수의 곱셈 연산이 필요합니다. 반면에 가우스 소거법은 $O(n^3)$ 복잡도를 가져 대규모 시스템을 순식간에 풀어냅니다. 실무적으로 크레이머 공식은 3원 이하의 시스템에서 닫힌 형태의 수식을 만들 때만 강력합니다.

Q2. 2D 방정식에서 계수 행렬식 D가 기하학적 넓이를 나타낸다는 것이 구체적으로 무슨 의미인가요?

A2. 두 선형 방정식에서 열벡터 $mathbf{v_1} = (a_1, a_2)$ 와 $mathbf{v_2} = (b_1, b_2)$ 를 2차원 평면 좌표계에 그려보면, 두 화살표로 만들어지는 평행사변형의 면적이 바로 행렬식 $D = a_1 b_2 - b_1 a_2$ 의 절댓값과 완벽하게 일치합니다. 만약 $D=0$ 이라면 이 평행사변형의 면적이 없다는 뜻이므로, 두 벡터가 완전히 한 직선 위에 겹쳐져 평행하다는 것을 기하학적으로 증명합니다.

Q3. D=0일 때 평행한 직선(불능)과 완전히 겹치는 일치 직선(부정)을 어떻게 완벽하게 구분할 수 있나요?

A3. $D=0$ 일 때 분자 행렬식 $D_x$ 값을 관찰해야 합니다. 두 직선이 평행하다면 계수 비율은 동일하지만 상수항(절편) 비율이 달라 치환된 $D_x$는 0이 아닌 값을 갖게 됩니다. 이 경우 해는 $x = D_x / 0$ 이 되어 모순(해 없음)이 발생합니다. 반대로 두 직선이 완벽히 동일하다면 상수항 비율까지 일치하여 분자 행렬식 $D_x$ 와 $D_y$ 모두 0이 됩니다. 이는 0/0 형태로 모든 값이 해가 될 수 있는 무한 해(부정) 상태임을 명확히 구분해 줍니다.