피타고라스 정리 계산법, 빗변 구하는 3단계
직각삼각형에서 두 변의 길이를 알고 있을 때 나머지 한 변, 특히 빗변의 길이를 구하는 계산은 피타고라스 정리 a²+b²=c² 하나로 끝납니다. 계산 자체는 어렵지 않지만, 제곱을 더한 뒤 제곱근을 씌우는 순서와 어떤 변에 어떤 값을 넣어야 하는지에서 실수가 자주 나옵니다.
이 글은 그 계산 과정을 숫자로 직접 검증할 수 있게 단계별로 풀고, 흔히 틀리는 지점을 짚습니다.
요약 ① 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립하며 공식은 a²+b²=c²입니다. ② 계산은 제곱 → 합(또는 차) → 제곱근의 3단계이며, 구하는 변이 빗변인지 다른 변인지에 따라 더하거나 빼는 것이 달라집니다. ③ 빗변(c)은 항상 다른 두 변보다 길어야 하며, 그렇지 않으면 계산이 성립하지 않습니다.
직각삼각형 계산이 필요한 상황
목공이나 설치 작업에서 사각형 틀이 실제로 직각인지 확인할 때 흔히 3-4-5 법칙을 씁니다. 한 변에서 3의 배수 지점에, 다른 변에서 4의 배수 지점에 표시를 하고, 그 두 표시 사이 대각선이 5의 배수와 정확히 일치하면 그 모서리는 직각입니다.
문제는 변의 길이가 90cm, 120cm처럼 딱 떨어지지 않는 값일 때입니다. 이럴 때는 대각선이 얼마여야 직각이 되는지 암산으로 나오지 않고, 직접 계산해야 정확한 값을 알 수 있습니다.
같은 계산은 모니터나 TV 화면의 대각선 크기를 가로·세로 길이로부터 구하거나, 좌표평면에서 두 지점 사이의 직선 거리를 구할 때도 동일하게 쓰입니다. 결국 세 경우 모두 "직각을 낀 두 변을 알 때 나머지 한 변을 구한다"는 같은 문제입니다.
손으로 계산하는 방법 — 제곱·합·제곱근 3단계
피타고라스 정리 계산은 항상 같은 순서를 따릅니다. 무엇을 구하느냐에 따라 두 번째 단계에서 더할지 뺄지만 달라집니다.
빗변(c)을 구할 때
밑변(a)과 높이(b)를 알고 있으면 빗변은 이렇게 구합니다.
- 제곱: 두 변을 각각 제곱합니다.
- 합: 두 제곱 값을 더합니다.
- 제곱근: 더한 값의 제곱근을 씌우면 빗변입니다.
예를 들어 a=3, b=4라면 다음과 같습니다.
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5
다른 변(a 또는 b)을 구할 때
빗변(c)과 한 변을 알고 있으면 순서가 다릅니다. 더하는 대신 뺍니다.
- 제곱: 빗변과 알고 있는 변을 각각 제곱합니다.
- 차: 빗변의 제곱에서 알고 있는 변의 제곱을 뺍니다.
- 제곱근: 뺀 값의 제곱근을 씌우면 나머지 변입니다.
예를 들어 c=13, b=12라면 다음과 같습니다.
a² = c² - b² = 169 - 144 = 25
a = √25 = 5
계산이 성립하는 조건
이때 반드시 지켜야 하는 조건이 있습니다. 빗변(c)은 세 변 중 가장 길어야 합니다. c²-b² 값이 음수가 되면, 즉 c가 b보다 작거나 같으면 그런 삼각형은 애초에 존재할 수 없으므로 계산이 성립하지 않습니다.
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자주 틀리는 지점: 변 선택과 대소 관계
계산 자체보다 계산 이전 단계에서 실수가 더 많이 나옵니다. 크게 두 가지 지점입니다.
두 가지 실수 유형
어떤 변을 구할지 잘못 고르는 경우. 빗변(c)은 직각과 마주 보는 변으로, 세 변 중 항상 가장 깁니다. 밑변(a)과 높이(b)는 직각을 이루는 두 변이라 서로 바꿔 불러도 계산에는 영향이 없지만, 빗변과 다른 변을 헷갈리면 더해야 할 자리에서 빼거나 빼야 할 자리에서 더하게 됩니다.
빗변 자리에 더 작은 값을 넣는 경우. 다른 변(a 또는 b)을 구하려고 c와 한 변을 입력했는데, 입력한 c 값이 알고 있는 변보다 작거나 같으면 계산이 성립하지 않습니다. 직각삼각형에서는 빗변보다 긴 변이 존재할 수 없기 때문입니다.
계산 조건 한눈에 보기
| 구하려는 값 | 알아야 할 값 | 계산 순서 | 성립 조건 |
|---|---|---|---|
| 빗변 c | 밑변 a, 높이 b | 제곱 → 합 → 제곱근 | a, b 모두 0보다 커야 함 |
| 밑변 a | 빗변 c, 높이 b | 제곱 → 차 → 제곱근 | c가 b보다 커야 함 |
| 높이 b | 빗변 c, 밑변 a | 제곱 → 차 → 제곱근 | c가 a보다 커야 함 |
결과가 정수로 딱 떨어지지 않는 경우도 흔합니다. 예를 들어 a=5, b=7이면 c=√74로 약 8.60232526입니다. 이때는 필요한 정밀도만큼 소수점 자리를 반올림해서 읽으면 됩니다.
정리
- 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립하며 공식은 a²+b²=c²입니다.
- 빗변(c)을 구할 때는 두 변을 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌웁니다.
- 다른 변(a, b)을 구할 때는 더하는 대신 빗변의 제곱에서 아는 변의 제곱을 뺀 뒤 제곱근을 씌웁니다.
- 빗변은 항상 세 변 중 가장 길어야 하며, 그렇지 않으면 계산이 성립하지 않습니다.
- 결과가 정수로 떨어지지 않으면 필요한 소수점 자리까지 반올림해 사용하면 됩니다.
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자주 묻는 질문
빗변(c)이 무조건 가장 긴 변인가요?
네. 빗변은 직각과 마주 보는 변으로, 직각삼각형에서 수학적으로 항상 세 변 중 가장 깁니다. 다른 변을 구하려고 빗변 자리에 값을 넣을 때, 그 값이 나머지 한 변보다 작거나 같으면 계산이 성립하지 않는 것도 이 때문입니다.
계산 결과가 소수로 나오면 어떻게 읽어야 하나요?
세 변의 길이 비율이 정수 조합(3-4-5, 5-12-13 등)이 아니면 결과는 대부분 끝나지 않는 소수로 나옵니다. 이 경우 필요한 정밀도만큼 소수점 자리를 반올림해서 사용하면 되며, 계산기는 소수점 8자리까지 결과를 보여줍니다.
밑변(a)과 높이(b)를 서로 바꿔 넣어도 되나요?
네, 결과에는 영향이 없습니다. 밑변과 높이는 직각을 이루는 두 변으로 서로 대등한 관계이고, a²+b²=c² 공식은 두 값을 더하기만 하므로 순서를 바꿔도 빗변 값은 같습니다. 다만 빗변(c)과는 이 관계가 성립하지 않으므로 c 자리에 다른 변을 넣지 않도록 주의해야 합니다.
세 변의 길이를 모두 알고 있을 때도 쓸 수 있나요?
직접적인 용도는 아니지만 검산에는 쓸 수 있습니다. 세 변 중 하나를 구할 변으로 지정해 나머지 두 변을 입력하면, 계산된 값이 실제로 갖고 있는 값과 같은지 비교해 그 삼각형이 정말 직각삼각형인지 확인할 수 있습니다.