삼각함수 계산기: 각도 넣고 6개 값 바로 확인

각도를 입력했을 때 사인·코사인·탄젠트 등 6개 삼각비 값이 정확히 얼마인지, 그리고 특정 각도에서 왜 "정의되지 않음"이 뜨는지 궁금한 경우 이 글에서 계산 원리부터 확인할 수 있습니다. 단위원(반지름 1인 원) 위의 좌표 하나만 알면 6개 삼각비는 모두 나눗셈 몇 번으로 구해지고, tan·sec가 90°·270°에서 정의되지 않는 이유도 그 나눗셈 안에 있습니다. 공식과 계산 순서를 먼저 정리하고, 같은 계산을 자동으로 해 주는 도구도 함께 안내합니다.

요약 ① 단위원 위 각도 θ의 좌표가 (cosθ, sinθ)이며, sin·cos가 먼저 정해지고 나머지 4개는 그 비율로 구해집니다. ② tan·sec는 cos값이 0이 되는 90°·270°에서, csc·cot는 sin값이 0이 되는 0°·180°에서 나눗셈이 성립하지 않아 Undefined로 표시됩니다. ③ 역삼각함수 arcsin·arccos는 sin·cos의 결과 범위가 -1~1로 묶여 있어 입력값도 그 범위 안에서만 계산됩니다.

실제로 이런 상황에서 막힙니다

삼각함수 계산에서 막히는 지점은 대체로 두 가지입니다. 하나는 각도-라디안 단위를 헷갈려 엉뚱한 값이 나오는 경우이고, 다른 하나는 tan(90°)나 sec(270°)처럼 값이 아예 나오지 않는 경우입니다.

예를 들어 도(°) 단위로 45를 입력할 생각이었는데 계산기가 라디안 모드였다면, 결과는 sin(45°)=0.7071이 아니라 sin(45 rad)≈0.8509라는 전혀 다른 값으로 나옵니다. 계산 과정 자체는 틀리지 않았는데 단위 하나 때문에 답만 틀리는 상황입니다.

또 하나는 tan이나 sec를 90°, 270°에 넣었을 때입니다. 계산기마다 아주 큰 숫자, Infinity, 혹은 오류 메시지 중 하나를 내놓는데, 왜 그런 결과가 나오는지 원리를 모르면 계산기가 고장 났다고 오해하기 쉽습니다.

도구 없이 손으로 계산하는 방법

삼각비 6개는 모두 단위원(원점이 중심이고 반지름이 1인 원) 위의 좌표 하나에서 출발합니다. 원 위에서 양의 x축으로부터 반시계 방향으로 각도 θ만큼 이동한 점의 좌표가 정확히 (cosθ, sinθ)입니다. 즉 코사인은 그 점의 x좌표, 사인은 y좌표입니다.

각도를 라디안으로 바꾸고 비율 구하기

계산기 내부의 삼각함수(예: JavaScript의 Math.sin, Math.cos)는 항상 라디안 단위를 입력값으로 받습니다. 각도(°)로 값을 알고 있다면 먼저 라디안으로 바꿔야 하며, 변환 공식은 다음과 같습니다.

라디안 = 각도 × (π / 180)

45°는 45 × (π/180) ≈ 0.7854 라디안이고, 90°는 90 × (π/180) = π/2 ≈ 1.5708 라디안입니다.

sin과 cos만 구하면 나머지 4개는 전부 그 둘의 비율로 정해집니다.

• tan θ = sin θ ÷ cos θ
• sec θ = 1 ÷ cos θ
• csc θ = 1 ÷ sin θ
• cot θ = cos θ ÷ sin θ

자주 쓰는 각도의 정확한 값은 다음과 같습니다.

정의되지 않는 이유

90°와 270°에서 tan과 sec가 정의되지 않는 이유는 표에 그대로 드러납니다. 두 각도 모두 cos 값이 0이고, tan은 sin÷cos, sec는 1÷cos이므로 분모가 0이 되어 나눗셈이 성립하지 않습니다. 결과가 하나의 숫자로 수렴하지 않기 때문에 무한대(Infinity)라는 값 하나로 표시하기보다 "정의되지 않음(Undefined)"으로 표기하는 쪽이 수학적으로 더 정확합니다.

같은 원리로 csc와 cot는 sin 값이 0이 되는 0°, 180°, 360°에서 정의되지 않습니다. 분자가 무엇이든 분모가 0이면 그 나눗셈 자체가 성립하지 않기 때문입니다.

역삼각함수(arcsin, arccos)의 입력 범위가 -1~1로 제한되는 이유도 같은 단위원에서 나옵니다. sin과 cos는 반지름이 1인 원 위의 좌표값이므로 그 자체가 항상 -1과 1 사이에 있습니다. 따라서 "사인 값이 2가 되는 각도"는 애초에 존재하지 않고, arcsin(2)처럼 범위를 벗어난 입력은 대응하는 각도가 없어 계산되지 않습니다. 반면 arctan은 tan 값이 90°에 가까워질수록 한없이 커지므로 입력값에 이런 제한이 없습니다.

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자주 헷갈리는 부분

각도 단위를 착각하는 경우가 가장 흔합니다. 같은 숫자 45를 입력해도 단위가 도인지 라디안인지에 따라 전혀 다른 값이 나옵니다.

계산 결과가 예상과 다르게 나온다면 각도 단위 표시부터 확인하는 것이 순서입니다.

Undefined와 Infinity는 다른 개념입니다. tan(90°)는 하나의 값으로 수렴하는 것이 아니라, 90°보다 살짝 작은 쪽에서는 한없이 커지고 살짝 큰 쪽에서는 한없이 작아지는(음의 방향으로 발산하는) 서로 다른 흐름을 보입니다. 하나의 값으로 정할 수 없으므로 "정의되지 않음"이 수학적으로 정확한 표현입니다.

컴퓨터로 90°를 라디안(π/2)으로 바꿔 코사인을 계산하면 부동소수점 연산의 특성상 정확히 0이 아니라 0에 극히 가까운 값(예: 6.12×10⁻¹⁷)이 나오는 경우가 있습니다. 이 값을 그대로 나눗셈에 쓰면 0이 아닌데도 비정상적으로 거대한 숫자가 나올 수 있어서, 계산 도구는 분모가 사실상 0에 가까운 극소값일 때도 미리 걸러 Undefined로 처리합니다.

arcsin·arccos와 arctan의 입력 범위도 다릅니다.

정리

• 6개 삼각비는 단위원 위의 좌표 (cosθ, sinθ)에서 출발하며, sin·cos만 구하면 나머지 4개는 비율 계산으로 나옵니다.
• 각도를 라디안으로 바꾸는 공식은 라디안 = 각도 × (π/180) 입니다. 계산기나 프로그램의 삼각함수는 대부분 라디안을 입력값으로 받습니다.
• tan·sec는 cos가 0이 되는 90°·270°에서, csc·cot는 sin이 0이 되는 0°·180°·360°에서 나눗셈이 성립하지 않아 정의되지 않습니다.
• arcsin·arccos의 입력 범위가 -1~1로 제한되는 이유는 sin·cos의 결과값 자체가 그 범위를 벗어날 수 없기 때문입니다. arctan은 이 제한이 없습니다.

자주 묻는 질문

왜 tan(90°) 값이 Infinity가 아니라 Undefined로 나오나요?

cos(90°)가 0이라 tan(90°)=sin÷cos 계산에서 분모가 0이 되기 때문입니다. 90°보다 작은 쪽에서 접근하면 값이 양의 무한대로, 큰 쪽에서 접근하면 음의 무한대로 서로 다르게 발산하므로 하나의 숫자로 정할 수 없습니다. 그래서 무한대 한 값이 아니라 "정의되지 않음"으로 표기하는 것이 수학적으로 맞습니다.

각도(도)와 라디안(rad) 중 어떤 걸 입력해야 하나요?

두 단위 모두 계산 가능하며, 계산기에서 선택한 단위 표시를 따르면 됩니다. 변환 공식은 라디안 = 각도 × (π/180)입니다. 같은 숫자라도 단위가 다르면 결과가 완전히 달라지므로, 결과가 이상하다면 단위 표시부터 확인하는 것이 순서입니다.

역삼각함수에는 왜 -1~1 범위 제한이 있나요?

sin과 cos는 반지름이 1인 단위원 위의 좌표값이라 그 결과가 항상 -1과 1 사이에만 있습니다. 그 범위를 벗어난 값을 만드는 각도는 애초에 존재하지 않으므로 arcsin(2)와 같은 입력은 계산되지 않습니다. tan은 값에 상한·하한이 없어 arctan은 이런 제한을 받지 않습니다.

sec, csc, cot는 sin, cos, tan과 어떻게 다른가요?

세 값은 각각 cos, sin, tan의 역수 관계입니다. sec는 1÷cos, csc는 1÷sin, cot는 cos÷sin(=1÷tan)으로 구해집니다. 그래서 cos나 sin이 0이 되는 각도에서는 이 값들도 함께 정의되지 않습니다.