반듯하지 않은 땅 넓이 구하는 법 — 꼭짓점 좌표만 있으면 됩니다

반듯하지 않은 땅이나 도형의 넓이는 삼각형으로 쪼개지 않아도 구할 수 있습니다. 꼭짓점 좌표만 순서대로 알면, 신발끈 공식 하나로 넓이가 바로 나옵니다. 오목하게 파인 모양이어도 그대로 됩니다.

요약 꼭짓점 (x, y)를 테두리 따라 한 방향으로 나열하고 A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| 를 적용하면 끝입니다. 시계·반시계 어느 방향이든 절댓값을 취하므로 결과는 같고, 볼록이 아니어도 됩니다. 넓이가 0이 나오면 계산이 틀린 게 아니라 대부분 좌표 순서가 꼬인 것입니다(드물게는 좌표 자체의 오기일 수도 있습니다).

사각형이 아닌 땅은 왜 곤란한가

넓이 공식은 대부분 "가로 × 세로", "밑변 × 높이 ÷ 2"처럼 반듯한 모양을 전제합니다. 그런데 실제 땅은 꼭짓점이 5개, 6개, 때로는 한쪽이 안으로 파인 L자 모양입니다.

이럴 때 흔히 하는 방법이 삼각형으로 쪼개는 것입니다. 대각선을 그어 삼각형 여러 개로 나누고, 각각의 밑변과 높이를 재서 더합니다.

문제는 두 가지입니다. 첫째, 삼각형마다 높이를 다시 재야 하는데 도면 위에서 수직선을 정확히 긋는 게 쉽지 않습니다. 둘째, 오목한 모양은 쪼개는 방식 자체를 잘못 잡으면 바깥 영역까지 포함되어 버립니다.

신발끈 공식: 꼭짓점 좌표만 있으면 됩니다

꼭짓점의 좌표를 알고 있다면 쪼갤 필요가 없습니다. 다각형의 꼭짓점을 테두리 따라 순서대로 (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) 이라 할 때 넓이는 이렇게 나옵니다.

A = ½ × |(x₁y₂ + x₂y₃ + … + xₙy₁) − (y₁x₂ + y₂x₃ + … + yₙx₁)|

즉 A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| 이고, 마지막 꼭짓점 다음은 첫 꼭짓점으로 돌아옵니다((xₙ₊₁, yₙ₊₁) = (x₁, y₁)).

이 공식은 가우스의 면적 공식(Gauss's area formula), 측량사의 공식(surveyor's formula), 사선공식이라고도 불립니다. Meister가 1769년에 기술했고, 가우스가 기술한 사다리꼴 공식에 기반합니다. "신발끈"이라는 이름은 좌표를 두 줄로 적고 x와 y를 엇갈려 곱하는 모양이 운동화 끈을 교차시켜 묶는 모습과 닮아서 붙었습니다.

손으로 한 번 해보기

꼭짓점이 (1, 1), (7, 1), (6, 6), (2, 5) 인 사각형으로 해봅니다. 좌표를 세로로 적고, 마지막에 첫 좌표를 한 번 더 씁니다.

x    y
1    1
7    1
6    6
2    5
1    1   ← 첫 좌표 반복

오른쪽 아래로 내려가며 곱해 더합니다(S₁ = Σ xᵢyᵢ₊₁)

1×1 + 7×6 + 6×5 + 2×1 = 1 + 42 + 30 + 2 = 75

왼쪽 아래로 내려가며 곱해 더합니다(S₂ = Σ yᵢxᵢ₊₁)

1×7 + 1×6 + 6×2 + 5×1 = 7 + 6 + 12 + 5 = 30

A = ½ × |75 − 30| = ½ × 45 = 22.5

계산기도 필요 없습니다. 곱셈 여덟 번과 뺄셈 한 번입니다.

왜 절댓값을 씌우나 — 부호는 방향입니다

절댓값을 벗기면 이 공식은 부호가 있는 넓이를 줍니다. 꼭짓점을 반시계 방향으로 넣으면 양수, 시계 방향으로 넣으면 음수가 나옵니다.

위 사각형의 좌표를 그대로 뒤집어 (2, 5), (6, 6), (7, 1), (1, 1) 순으로 넣으면 S₁ = 30, S₂ = 75 로 자리가 바뀌어 −22.5 가 됩니다. 크기는 그대로고 부호만 반대입니다.

그래서 절댓값을 취합니다. 넓이를 구하는 게 목적이라면 시계인지 반시계인지 신경 쓸 필요가 전혀 없습니다. 이것이 실전에서 가장 큰 부담을 덜어주는 부분인데, 의외로 이 사실을 모른 채 "방향을 어떻게 맞추냐"로 고민하는 경우가 많습니다.

왜 오목한 모양도 되나 — 조건은 "볼록"이 아니라 "단순"입니다

이 공식이 요구하는 조건은 단순 다각형(simple polygon), 즉 변끼리 서로 교차하지 않는 다각형이라는 것 하나뿐입니다. 볼록할 필요가 없습니다.

직관은 이렇습니다. 각 항 ½(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ) 는 원점과 변 하나가 만드는 삼각형의 부호 있는 넓이입니다. 테두리를 한 바퀴 도는 동안, 원점에서 봤을 때 "앞으로 쓸어나가는" 삼각형은 +로, "뒤로 되쓸어오는" 삼각형은 −로 더해집니다. 오목하게 파인 부분에서는 되쓸어오는 항이 앞서 더해진 초과분을 정확히 상쇄합니다. 그래서 파인 곳은 저절로 빠집니다. 이 삼각형 형태는 그린 정리(Green's theorem)의 특수한 경우이기도 합니다.

실제로 L자 모양 (0,0), (4,0), (4,2), (2,2), (2,4), (0,4) 를 넣으면 S₁ = 32, S₂ = 8 이라 넓이는 12 가 나옵니다. 4×4 정사각형에서 2×2 를 파낸 것이니 16 − 4 = 12, 정확합니다.

굴곡점이 아닌 점이 섞여도 안전합니다

변 위 일직선상에 있는 점을 중간에 하나 더 넣어도 결과는 변하지 않습니다. 그 점이 만드는 항이 넓이에 기여하지 않기 때문입니다. 도면에서 좌표를 옮겨 적다가 꺾이지 않는 지점을 하나 더 찍었더라도 넓이는 그대로입니다.

★넓이가 0이 나왔다면 — 대부분 순서가 꼬인 것입니다

가장 흔한 실수이자, 가장 오해받는 결과입니다.

좌표를 테두리 순서가 아니라 뒤죽박죽으로 넣으면 변이 서로 교차합니다. 이때 나오는 값은 "조금 이상한 넓이"가 아니라 정확히 0 인 경우가 많습니다. 대칭적으로 꼬였을 때 +영역과 −영역이 완전히 상쇄되기 때문입니다.

• 나비넥타이 모양 (0,0), (4,4), (4,0), (0,4) → S₁ = 16, S₂ = 16 → 넓이 0
• 정사각형 좌표를 순서만 섞어서 넣어도 → 0

계산이 고장난 게 아닙니다. 좌표 자체는 맞는데 연결 순서가 틀린 경우가 대부분입니다. 이 경우 해법은 하나입니다. 지도나 도면 위에서 테두리를 따라 한 바퀴 걸어가듯 만나는 순서대로 다시 적으십시오. 방향은 아무래도 좋습니다.

드물게는 순서가 맞는데도 0이 나올 수 있습니다. 세 점 이상이 한 직선 위에 놓이거나(공선) 같은 점을 중복해 넣는 등 좌표 자체의 오기일 때입니다. 순서를 먼저 확인하고, 그래도 0이면 좌표에 겹치거나 일직선인 점이 없는지 살펴보십시오.

내 땅의 꼭짓점 좌표는 어디서 구하나

여기서 많은 분들이 막힙니다. 그런데 한국은 법이 정한 방식 자체가 좌표로 면적을 구하는 것입니다.

지적측량 시행규칙 제20조(면적측정의 방법 등) 제1항 제1호는 경위의측량방법으로 세부측량을 한 지역의 필지별 면적측정은 "경계점 좌표에 따를 것"이라고 정합니다. 이 방법의 이름이 바로 좌표면적계산법입니다. 같은 조는 측정면적을 1천분의 1㎡까지 측정하고, 산출면적은 지적도 축척 600분의 1 지역 및 경계점좌표등록부 등록 지역은 100분의 1㎡, 그 밖의 지역은 10분의 1㎡ 단위로 하도록 정하고 있습니다.

그리고 그 좌표는 문서로 존재합니다. 공간정보의 구축 및 관리 등에 관한 법률 제73조(경계점좌표등록부의 등록사항) 는 경계점좌표등록부의 등록사항으로 토지의 소재, 지번, 좌표, 그리고 그 밖에 국토교통부령으로 정하는 사항을 정합니다. 그 위임을 받은 같은 법 시행규칙 제71조 제3항이 세부 사항으로 토지의 고유번호, 지적도면의 번호, 필지별 경계점좌표등록부의 장번호를 정하고, 등록부 서식(별지 제69호)에는 부호 및 부호도가 포함됩니다. 여기서 경계점은 필지를 구획하는 선의 굴곡점을 말합니다. 이 등록부를 갖춰 두는 토지는 지적확정측량 또는 축척변경 측량을 실시해 경계점을 좌표로 등록한 지역입니다(모든 토지가 아닙니다).

인터넷(정부24)에서는 경계점좌표등록부 등본 발급이 가능합니다(소관 국토교통부). 신청 자격은 소유자 또는 이해관계인이며, 창구 수수료는 발급 500원, 열람 300원이지만 인터넷 발급은 수수료가 없습니다.

정리하면 이렇습니다. 경계점좌표등록부에서 좌표를 확보하고 → 부호도에 표시된 순서대로 나열하고 → 신발끈 공식에 넣으면, 국가가 면적을 산출하는 것과 같은 계산을 직접 해볼 수 있습니다.

직접 해보기 →

꼭짓점이 많으면 손계산이 버겁습니다

원리는 위에서 다 끝났습니다. 다만 꼭짓점이 8개, 12개로 늘어나면 곱셈 항이 그만큼 늘어나고, 한 항만 잘못 옮겨 적어도 결과가 틀어집니다. 게다가 틀렸는지 여부를 눈으로 확인할 방법이 없습니다.

그래서 좌표를 넣으면 넓이와 둘레를 바로 계산하고, S₁·S₂ 각 항과 대입 과정까지 펼쳐 보여주는 도구를 만들었습니다. 좌표를 한 줄에 하나씩 붙여넣을 수 있고(쉼표·세미콜론·공백 모두 구분자로 인식합니다), 격자 위의 점을 마우스로 끌어 모양을 직접 잡아볼 수도 있습니다. 무엇보다 다각형이 화면에 그려지므로 순서가 꼬였는지 눈으로 즉시 보입니다.

단위에 관한 주의

신발끈 공식은 단위를 모릅니다. 순수한 좌표 계산일 뿐입니다. 좌표를 미터 단위로 넣었다면 결과가 ㎡ 로 해석되는 것이고, 그 해석은 넣은 사람의 몫입니다.

평(坪)으로 환산해 보고 싶은 경우가 많은데, 평은 법정단위가 아닙니다. 계량에 관한 법률 제6조 제2항은 "누구든지 비법정단위를 계량이나 광고에 사용해서는 아니 된다"고 정하고 있으며, 위반은 과태료 부과 대상입니다. 다만 같은 조 제3항에 따라 산업통상자원부령이 정한 표시요건을 만족하면 법정단위와 함께 병기하는 것은 가능합니다. 즉 "300㎡"만 쓰거나 "300㎡(약 90.8평)"처럼 병기하는 건 되고, "90평"만 단독으로 쓰는 건 안 됩니다. 국가기술표준원 기준으로 1평은 약 3.3058㎡ 입니다.

계산한 넓이가 등기·등록부 면적과 다르다면

직접 계산한 값과 공부상 면적이 다를 수 있습니다. 이때 어느 쪽이 맞는지는 이 글이나 계산기가 판정할 수 있는 문제가 아닙니다.

구조만 말씀드리면 이렇습니다. 필지의 면적은 지적측량이라는 법정 절차를 거쳐 결정되고, 그 소관은 지적소관청(시·군·구)과 한국국토정보공사입니다. 좌표를 옮겨 적으며 생긴 단순 오기인지, 산출면적의 단위 규정에 따른 반올림 차이인지, 아니면 측량 자체를 다시 볼 사안인지는 해당 기관을 통해 확인하셔야 합니다. 직접 계산한 값은 어디를 확인해봐야 하는지 알아내는 근거로 쓰는 것이 정확한 용도입니다.

정리

• 꼭짓점 좌표를 테두리 순서대로 나열하고 A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| 를 적용하면 어떤 다각형이든 넓이가 나옵니다.
• 방향은 신경 쓰지 마십시오. 시계든 반시계든 절댓값이 같은 값을 만듭니다.
• 오목해도 됩니다. 조건은 볼록이 아니라 변이 교차하지 않는 단순 다각형입니다.
• 넓이가 0이면 연결 순서를 먼저 의심하십시오. 대부분 순서 문제이고, 드물게는 세 점 이상이 한 직선에 놓이거나 점이 겹치는 등 좌표 자체의 오기일 수도 있습니다.
• 내 땅이라면 경계점좌표등록부에서 좌표를 확보할 수 있습니다(인터넷 발급 무료).

자주 묻는 질문

꼭짓점을 시계 방향으로 넣어야 하나요, 반시계 방향으로 넣어야 하나요?

어느 쪽이든 상관없습니다. 반시계로 넣으면 양수, 시계로 넣으면 음수가 나오지만 절댓값을 취하므로 넓이는 완전히 같습니다. 중요한 건 방향이 아니라 테두리를 따라가는 순서를 지키는 것입니다. 도면 위에서 한 바퀴 걸어가며 만나는 순서대로 적으시면 됩니다.

넓이가 0으로 나오는데 왜 그런가요?

대부분 좌표가 아니라 연결 순서가 꼬였기 때문입니다. 테두리 순서가 아닌 순서로 점을 이으면 변이 서로 교차하고, +영역과 −영역이 상쇄되어 정확히 0이 나오는 경우가 많습니다. 예를 들어 (0,0), (4,4), (4,0), (0,4)는 나비넥타이 모양으로 교차해 넓이가 0이 됩니다. 먼저 좌표를 테두리 순서대로 다시 나열해 보시고, 그래도 0이라면 세 점 이상이 한 직선에 놓이거나 같은 점이 중복 입력되지 않았는지 확인해 보십시오.

오목하게 파인 모양도 계산되나요?

됩니다. 이 공식이 요구하는 조건은 볼록이 아니라 변이 서로 교차하지 않는 단순 다각형이라는 것뿐입니다. 파인 부분은 부호가 반대인 항이 초과분을 상쇄하면서 자동으로 빠집니다. L자 모양이든 별처럼 들쭉날쭉한 모양이든 교차만 없으면 정확합니다.

결과가 ㎡ 인가요, 평인가요?

둘 다 아닙니다. 이 계산은 단위가 없는 순수한 좌표 계산입니다. 좌표를 미터로 넣었다면 결과를 ㎡ 로 읽는 것이고, 단위 해석은 넣은 사람이 합니다. 평으로 환산해 표시할 때는 계량에 관한 법률 제6조 제2항에 따라 평 단독 표기는 안 되며, 제3항의 표시요건을 만족하는 경우 법정단위와 병기하는 방식으로만 가능합니다.