순열 조합 구분법: 로또는 조합, 비밀번호는 순열

순열 조합 구분법을 다룬 글을 씁니다. 검증이 지적한 3등 확률의 정밀도 과장 1건을 반영해 근사 표기로 통일하고, 정확히 나눠떨어지는 것은 1등·2등뿐이라는 점을 검증 서사에 넣었습니다. 나머지는 초안을 그대로 유지합니다.

순열인지 조합인지 헷갈릴 때 필요한 건 정의가 아니라 판별 절차입니다. 뽑은 것을 순서만 바꿔 놓아보고 그게 다른 결과인지 자문하면 1초에 갈립니다. 로또 용지에 1, 2, 3을 쓰든 3, 2, 1을 쓰든 같은 한 장이니 조합이고, 비밀번호 123과 321은 다른 값이니 순열입니다.

요약 순서를 바꿔서 결과가 달라지면 순열(nPr), 그대로면 조합(nCr)입니다. 여기에 "같은 걸 또 뽑아도 되나"를 더하면 4가지로 갈립니다. 로또 45C6 = 8,145,060은 동행복권 공식 1등 확률의 분모와 정확히 같습니다.

순서를 바꿔보는 1초 테스트

교과서는 "순서를 고려하면 순열, 고려하지 않으면 조합"이라고 씁니다. 문제는 내 상황에서 순서를 고려하는지를 어떻게 아느냐입니다. 정의를 다시 읽어도 답이 안 나오는 이유가 여기 있습니다.

실행 가능한 형태로 바꾸면 이렇습니다. 뽑은 것을 순서만 바꿔서 다시 늘어놓고, 그게 아까와 다른 결과인지 자문합니다.

다르면 순열입니다. 비밀번호 1234와 4321은 같은 숫자 네 개를 쓰지만 완전히 다른 비밀번호입니다. 자리를 바꾸는 것만으로 새로운 경우가 하나 생기니, 세는 방식이 순서를 반영해야 합니다.

같으면 조합입니다. 로또 용지에 6, 12, 25, 31, 38, 44를 마킹하는 것과 44, 38, 31, 25, 12, 6을 마킹하는 것은 같은 용지 한 장입니다. 순서를 바꿔봐야 새로운 경우가 생기지 않습니다.

반장과 부반장을 뽑으면 순열입니다. 철수가 반장이고 영희가 부반장인 경우와 그 반대는 다른 결과입니다. 반면 같은 다섯 명 중 청소 당번 두 명을 뽑으면 조합입니다. 철수와 영희가 당번인 것과 영희와 철수가 당번인 것은 같은 상황입니다.

두 번째 질문: 같은 걸 또 뽑아도 되나

순서만으로는 절반밖에 못 가릅니다. 나머지 절반은 중복 허용 여부입니다. 이 축을 따로 묻지 않으면 중복조합이 나왔을 때 갑자기 막힙니다.

한 번 뽑은 것을 도로 넣느냐가 기준입니다. 로또는 45개 공에서 6개를 뽑고 뽑힌 공은 돌아가지 않으니 중복이 없습니다. 반면 0~9 숫자로 PIN을 만들 때는 1111도 가능하니 중복이 허용됩니다.

두 축을 합치면 네 칸이 나오고, 경우의 수 문제는 전부 이 안에 들어갑니다.

각 칸의 대표 예시를 실제 숫자로 보면 감이 잡힙니다.

중복순열이 가장 쉽습니다. PIN 0000부터 9999까지 10,000개라는 건 이미 아는 사실이고, 그게 정확히 10^4입니다. 자리마다 10개 선택지가 독립적으로 곱해지니 팩토리얼이 필요 없습니다. n^r은 계산기 없이도 나옵니다.

왜 r!로 나누는지, 숫자로 보기

조합 공식의 분모에 있는 r!이 어디서 왔는지 설명하지 않는 글이 대부분입니다. 그런데 이걸 알면 순열과 조합의 관계가 통째로 이해됩니다.

로또로 확인해 봅니다. 순서를 세면 45P6 = 5,864,443,200이고, 순서를 안 세면 45C6 = 8,145,060입니다. 나눠보면 정확히 720입니다.

720은 6!입니다. 같은 6개 번호 묶음 하나를 순열로 세면 720가지 순서로 중복 계수된다는 뜻입니다. 그래서 그 중복을 걷어내려고 6!으로 나눕니다. nCr의 분모 r!은 "순서 때문에 부풀려진 배수"를 되돌리는 나눗셈입니다.

거꾸로 말하면 순열은 조합보다 항상 r!배 큽니다. 계산 결과가 이상하게 크다면 순서를 세지 말아야 할 곳에서 셌을 가능성이 높습니다.

도구 없이 손으로 계산하기

네 공식 모두 팩토리얼만 알면 손으로 됩니다. n! 은 n부터 1까지 전부 곱한 값입니다. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 입니다.

순열 nPr = n!/(n−r)! 은 실은 n부터 시작해 r개만 내려가며 곱하는 것과 같습니다. 5P2 = 5 × 4 = 20 입니다. 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 입니다. 팩토리얼을 끝까지 펼칠 필요가 없습니다.

조합 nCr 은 그 결과를 r!로 나눕니다. 5C2 = 20 / 2 = 10 입니다. 45C6 = (45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) / 720 = 8,145,060 입니다.

중복순열 nΠr = n^r 은 곱셈뿐입니다. 10^4 = 10,000 입니다.

중복조합 nHr 은 조합으로 바꿔서 풉니다. nHr = C(n+r−1, r) 이니 10H4 = 13C4 = (13 × 12 × 11 × 10) / 24 = 715 입니다.

숫자가 커지면 손으로 버겁습니다. 45C6처럼 여섯 개를 곱하고 720으로 나누는 정도는 계산기로 되지만, 자릿수가 커지면 중간에 오차가 생깁니다. 세 값을 나란히 놓고 비교하고 싶을 때도 손계산은 불편합니다.

직접 해보기 →

답을 맞춰볼 수 있는 검증: 동행복권 공식 확률

여기까지는 설명입니다. 정말 조합이 맞는지 공식 발표와 대조해서 확인할 수 있습니다.

동행복권의 로또 6/45 소개 페이지는 게임 방법을 이렇게 씁니다. "1~45까지 숫자 중 내가 선택한 6개 숫자와 추첨으로 결정된 숫자가 일치하는 개수에 따라 당첨!" 판정 기준이 일치하는 개수입니다. 순서를 따지는 말이 없으니, 순서 무관은 이 문구에서 따라 나옵니다.

같은 페이지가 공개한 등수별 확률은 이렇습니다.

전체 경우의 수를 조합으로 계산하면 45C6 = 8,145,060 입니다. 1등 확률의 분모와 정확히 같습니다.

깔끔하게 나눠떨어지는 것부터 봅니다. 2등은 내 번호 5개가 맞고 나머지 1개가 보너스 번호 하나와 일치해야 하니 6가지뿐이라, 8,145,060 ÷ 6 = 1,357,510 으로 공식 확률과 정확히 맞아떨어집니다. 정확한 등식이 성립하는 건 1등(분모 그 자체)과 2등, 이 둘뿐입니다.

나머지 등수는 공식 확률이 반올림값이라 근사로 확인됩니다. 3등은 내 번호 6개 중 5개가 맞고(6C5 = 6가지) 나머지 1개가 당첨번호가 아닌 38개 중 하나(38C1 = 38가지)여야 하니 228가지이고, 8,145,060 ÷ 228 = 35,723.9… → 약 1/35,724 로 공식 확률과 사실상 일치합니다. 5등도 6C3 × 39C3 = 182,780 이고 8,145,060 ÷ 182,780 = 44.56 → 약 1/45 입니다.

순열로 계산하면 45P6 = 5,864,443,200 이 나오고, 이건 공식 확률 어디에도 없는 숫자입니다. 어느 쪽이 맞는지 추측할 필요가 없습니다. 공식 발표가 답지 역할을 합니다.

계산기에 n=45, r=6을 넣으면 조합 칸에 8,145,060이, 순열 칸에 5,864,443,200이 뜹니다. 조합 쪽만 동행복권 숫자와 맞습니다. 공식 대입 과정에 720이라는 6!이 그대로 보이는데, 앞에서 본 그 720입니다.

여기서 멈춥니다. 이건 산수 검증일 뿐 구매나 전략에 관한 이야기가 아닙니다.

r > n 이어도 되는 경우

"n은 r보다 커야 한다"고 외우는 분이 많은데, 절반만 맞습니다.

순열과 조합은 맞습니다. 5명 중 7명을 뽑을 수 없으니 5P7이나 5C7은 성립하지 않습니다. 계산기에 r > n 을 넣으면 이 두 칸에는 안내 문구가 뜹니다.

중복조합은 다릅니다. 꺼낸 걸 도로 넣으니 얼마든지 더 뽑을 수 있습니다. 음료 3종 중 5잔을 주문하는 건 전혀 이상하지 않습니다. 3H5 = C(3+5−1, 5) = 7C5 = 21 로 정상 계산됩니다. 중복이 허용되는 순간 n과 r의 대소 관계는 제약이 아니게 됩니다.

정리

순서를 바꿔보고 결과가 달라지면 순열, 그대로면 조합입니다. 여기에 같은 걸 또 뽑아도 되는지를 더하면 네 칸 중 하나로 반드시 떨어집니다.

중복순열만 n^r 로 팩토리얼 없이 나오고, 나머지 셋은 팩토리얼이 필요합니다. 그리고 조합의 r!은 순서 때문에 부풀려진 배수를 되돌리는 나눗셈입니다. 45P6 ÷ 45C6 = 720 = 6! 이 그걸 그대로 보여줍니다.

헷갈릴 때 가장 확실한 방법은 세 값을 나란히 놓고 어느 게 내 상황인지 고르는 것입니다.

자주 묻는 질문

순열과 조합, 어느 쪽이 항상 더 큰가요?

순열이 조합보다 항상 r!배 큽니다. 같은 묶음 하나를 순열은 순서를 바꿔가며 r!번 세기 때문입니다. 45C6 = 8,145,060 이고 45P6 = 5,864,443,200 인데, 나누면 정확히 720 = 6! 입니다. 계산 결과가 예상보다 훨씬 크게 나왔다면 순서를 세지 말아야 할 곳에서 셌는지 확인해 보십시오.

중복조합 nHr 공식이 왜 C(n+r−1, r) 인가요?

공식을 외우기 어렵다면 "n+r−1 중에서 r개를 고르는 조합으로 바꿔 푼다"만 기억하면 충분합니다. 10종 음료 중 4잔이면 10H4 = C(10+4−1, 4) = 13C4 = 715 입니다. 조합 계산으로 환원되니 별도의 새 계산법이 필요하지 않습니다.

r이 n보다 커도 계산이 되나요?

중복조합만 됩니다. 순열과 조합은 뽑은 걸 돌려놓지 않으니 5명 중 7명을 뽑을 수 없어 성립하지 않습니다. 반면 중복조합은 도로 넣고 다시 뽑으므로 3종 중 5잔 같은 경우가 정상입니다. 3H5 = 7C5 = 21 입니다.

4자리 비밀번호 경우의 수는 5,040인가요, 10,000인가요?

조건에 따라 다릅니다. 0~9 숫자를 자유롭게 쓰고 1111처럼 반복도 되면 중복순열이라 10^4 = 10,000 입니다. 실제 PIN이 0000부터 9999까지니 이쪽이 맞습니다. 반면 네 자리가 모두 달라야 한다는 조건이 붙으면 순열이라 10P4 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040 입니다. 중복 허용 여부를 먼저 확인해야 하는 대표적인 경우입니다.