이차방정식 근의 공식, 판별식 D로 푸는 법
이차방정식 ax²+bx+c=0을 풀다가 판별식 D의 부호를 보고 실근인지 허근인지 헷갈리거나, 근의 공식에 b를 대입할 때 부호를 잘못 넣어 답이 틀리는 경우 대부분은 계산 실수이지 개념을 몰라서가 아닙니다.
판별식 D=b²-4ac의 부호만 먼저 판정하면 근의 개수와 종류가 계산 전에 이미 정해지고, 그 뒤로는 근의 공식에 계수를 순서대로 대입하기만 하면 됩니다. 이 글은 그 판정 순서와 대입 과정을 계산 원리 중심으로 정리합니다.
요약 ① 판별식 D=b²-4ac가 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근, 음수면 두 허근입니다. ② 근의 공식 x=(-b±√D)/2a에는 b가 아니라 부호를 한 번 더 뒤집은 -b를 대입합니다. ③ D<0이면 √D가 실수로 존재하지 않으므로 허수단위 i를 붙여 실수부±허수부i 형태로 적어야 합니다.
이차방정식 풀이에서 부호 하나가 답을 바꾸는 이유
이차방정식 x²-5x+6=0을 근의 공식으로 풀어본다고 하겠습니다. a=1, b=-5, c=6입니다.
근의 공식 x=(-b±√D)/2a에는 b=-5가 아니라 -b, 즉 -(-5)=5를 넣어야 합니다. 이 부호 전환 한 단계를 건너뛰고 -5를 그대로 쓰면 분자가 뒤바뀌어 두 근의 부호가 통째로 반대로 나옵니다.
판별식 D=(-5)²-4(1)(6)=25-24=1까지는 맞게 계산했더라도, 그다음 -b 자리에서 부호를 놓치면 최종 답이 틀립니다. 계산기 없이 손으로 풀 때 이 지점에서 오답이 가장 많이 나옵니다.
판별식과 근의 공식으로 직접 계산하는 방법
이차방정식 근을 구하는 계산은 항상 같은 순서로 진행됩니다. a가 0이 아닌지 확인하고, 판별식을 구한 뒤, 그 부호에 따라 근의 공식에 대입합니다.
1단계: a가 0인지 먼저 확인합니다
a=0이면 x² 항이 사라져 이차방정식이 아니라 일차방정식 bx+c=0이 됩니다. 이 경우 x=-c/b로 바로 구하며, 근의 공식을 그대로 쓰면 분모 2a가 0이 되어 계산이 성립하지 않습니다.
2단계: 판별식 D=b²-4ac를 계산합니다
b는 제곱하므로 부호와 무관하게 항상 0 이상의 값이 됩니다. 4ac는 a와 c의 부호 조합에 따라 더해지거나 빠지는 값이 달라집니다.
3단계: D의 부호로 근의 종류를 정합니다
- D>0 → 서로 다른 두 실근: x=(-b±√D)/2a
- D=0 → 중근: x=-b/2a
- D<0 → 두 허근: 실수부 -b/2a, 허수부 √|D|/2a인 복소수(실수부±허수부i)
계수를 넣어 세 가지 경우를 직접 계산해보면
D>0인 경우 — 2x²+5x-3=0 a=2, b=5, c=-3이므로 D=5²-4(2)(-3)=25+24=49로 양수입니다. √49=7이므로 x=(-5±7)/4이고, 계산하면 x1=0.5, x2=-3입니다.
D=0인 경우 — x²-6x+9=0 a=1, b=-6, c=9이므로 D=(-6)²-4(1)(9)=36-36=0입니다. x=-b/2a=6/2=3 하나의 값만 나오며, 이를 중근이라 부릅니다.
D<0인 경우 — x²+2x+5=0 a=1, b=2, c=5이므로 D=2²-4(1)(5)=4-20=-16으로 음수입니다. √|D|=4를 2a=2로 나눈 2가 허수부, -b/2a=-1이 실수부가 되어 근은 -1±2i입니다.
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자주 틀리는 세 가지 지점
근의 공식 계산에서 반복되는 실수는 대체로 세 가지로 좁혀집니다.
| 실수 | 무엇이 틀렸는가 | 올바른 계산 |
|---|---|---|
| b의 부호를 그대로 대입 | 근의 공식은 b가 아니라 -b를 씁니다. b=-5일 때 -b는 5인데, 부호 전환을 건너뛰고 -5를 그대로 넣는 경우가 많습니다 | -b를 먼저 구한 뒤 대입 (b=-5 → -b=5) |
| a=0을 이차방정식으로 착각 | a=0이면 x² 항이 없어 일차방정식(bx+c=0)이 되는데, 그대로 근의 공식에 넣으면 분모 2a가 0이 되는 계산이 됩니다 | a=0이면 근의 공식 대신 x=-c/b로 계산 |
| D<0일 때 i 표기 누락 | √D가 음수 안에서는 실수로 계산되지 않는데도 절댓값만 취해 실근처럼 적는 경우입니다 | 실수부 ±(√ |
a=0인 경우가 헷갈리는 이유는 문제에 x² 항이 아예 안 보이는 게 아니라, 이항하는 과정에서 계산 도중 a 자리가 0으로 남는 경우가 있기 때문입니다. 이런 식은 애초에 이차방정식이 아니므로 판별식 자체가 정의되지 않습니다.
D<0을 "실수 범위에서 근 없음"으로 끝내는 것과 복소수 범위에서 두 허근을 구하는 것은 다른 질문입니다. 근의 공식으로 풀라는 문제라면 대개 후자를 요구하므로, i를 빠뜨리면 미완성 답이 됩니다.
정리
- 판별식 D=b²-4ac의 부호가 근의 개수와 종류를 계산 전에 이미 정합니다. D>0은 서로 다른 두 실근, D=0은 중근, D<0은 두 허근입니다.
- 근의 공식 x=(-b±√D)/2a에는 b가 아니라 -b를 대입합니다. 부호를 한 번 더 뒤집는 단계를 빠뜨리면 두 근의 부호가 통째로 반대로 나옵니다.
- a=0이면 애초에 이차방정식이 아니라 일차방정식이므로, 근의 공식이 아니라 x=-c/b로 계산합니다.
- D<0일 때 √D는 실수로 존재하지 않으므로 허수단위 i를 붙여 실수부±허수부i 형태로 표기해야 완전한 답입니다.
- 손으로 계산한 값을 검산하고 싶다면 같은 계수를 넣어 판별식과 대입 과정을 그대로 비교해볼 수 있습니다.
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자주 묻는 질문
판별식 D가 정확히 무엇을 뜻하나요?
판별식 D=b²-4ac는 근의 공식 안에서 제곱근 기호 √D 안에 들어가는 값입니다. 이 값의 부호에 따라 √D가 실수인지, 0인지, 허수인지가 갈리기 때문에 근의 개수와 종류를 미리 알려주는 역할을 합니다.
D=0일 때 근은 하나인가요, 두 개인가요?
계산상으로는 x=-b/2a 하나의 값만 나오지만, 이차방정식은 원래 두 근을 가지므로 이 값이 두 번 겹친다고 봅니다. 그래서 서로 다른 두 실근과 구분해 "중근"이라 부릅니다.
D<0이면 이차방정식에 답이 없는 건가요?
실수 범위에서는 답이 없지만, 복소수 범위까지 넓히면 두 허근이 존재합니다. 근의 공식 x=(-b±√D)/2a의 √D 자리에 √|D|·i를 넣어 실수부±허수부i 형태로 구합니다.
a, b, c에 소수나 분수를 넣어도 계산되나요?
네, 판별식과 근의 공식은 a, b, c가 정수가 아니어도 같은 방식으로 계산됩니다. 계수가 소수나 음수처럼 복잡할수록 손으로 계산할 때 부호 실수가 나기 쉬우므로, 도구에 그대로 입력해 대입 과정을 확인하는 것이 검산에 유용합니다.